Die Mathematik des Plätzchenaustechens oder wie passen die meisten Plätzchen aufs Backblech

Den Anfang macht heute die Frage wie man am besten einen Plätzchenteig aussticht bzw. wie man hier am effektivsten vorgeht. Mit „effektiv“ ist in diesem Falle gemeint, wie man die Teigmenge, die nach dem Austechen nicht für die Plätzchen verwendet wird miniert. Um das ganze möglichst einfach und übersichtlich zu erklären werden wir zwei wichtige vereinfachende Annahmen machen.

1. Die Ausstechform ist kreisrund
Für das Ausstechen der Plätzchen gibt es mittlerweile bestimmt genauso viele verschiedene Formen wie auch Rezepte. Ob Sterne, Monde, Sonnen, Tiere, klassische geometrische Formen, Menschen, Fantasiegestalten oder…. Der Kreativität sind hier natürlich keine Grenzen gesetzt. Um auf die oben gestelle Frage nach der Effektivität eine sinnvolle, kurze Antwort geben zu können wollen wir uns hier zunächst auf kreisunde Ausstechformen beschrenken. Noch einfacher wäre es natürlich mit rechteckigen Formen, da man dann bei ideal ausgerolltem Teig 100 % des Teigs benutzen könnte. Aber dann wären wir ja jetzt schon am Ende des Beitrags. Der zweite wichtige Punkt, den es zu beachten gilt ist der des Teigs selber:

2. Der Teig wird so ausgerollt, dass uns der Rand nicht zu interessieren braucht
Das mag sich ein wenig komisch anhören, aber um herauszufinden wie wir kreisrunde Formen am effektivsten nebeneinander platzieren ignorieren wir den Rand zunächst. Anders formuliert könnte man argumentieren, dass der Teig unendlich groß sein soll, was die Sache natürlich auch nicht anschaulicher macht.Drei mögliche Ausstechmuster

Im obigen Bild sind drei verschiedene Ausstechmuster dargestellt, die man sehr einfach selber ausprobieren und realisieren kann. Zugegebenermaßen sieht das Muster ganz links nicht so aus, als würde man hier viele Plätzchen aus dem Teig herausholen können. Klar das sieht ja jeder. Die interessantere Frage stellt sich welches der beiden rechten Muster ‚besser‘ ist. Eines der beiden entspricht wahrscheinlich dem Muster was jeder beim Backen schon einmal verwendet hat.
Mathematisch lässt sich leicht ausrechnen, welches der beiden Muster hier effektiver, d.h. raumausfüllender ist. Charakterisiert wird dies durch den sogenannten „Raumfüllfaktor“. Eine wichtige Eigenschaft um herauszufinden wie groß dieser Faktor ist, ist zu Wissen wie groß die Anzahl benachbarter Kreise zu einem gewählten Kreis ist. Dazu muss man im obigen Bild einfach nur abzählen und sieht sofort, dass dies von links nach rechts gerade 3,4 bzw. 6 sind. Entsprechend charakterisiert man die Muster als 3,4- bzw. 6-basig. Um das Ganze nicht unnötig in die Länge zu ziehen, kommen wir sofort zu den entscheidenden Werten; den Raumfüllfaktoren, die sich mit ein wenig Mathematik und geometrischen Überlegungen berechnen lassen.

– 3-basig: 0,6046, dies entspricht 60,46 %
– 4-basig: 0,7845, dies entspricht 78,45 %
– 6-basig: 0,9069, dies entspricht 90,69 %

Das bedeutet, dass wenn die Plätzchen in der Form, die oben ganz rechts abgebildet ist ausgestochen und angeordnet werden Insgesamt knapp 91 % des Teigs direkt im Ofen landen können. Eine ziemlich gute Ausbeute. Verglichen mit dem recht ähnlichen Muster in der Mitte, dass bei knapp 79 % liegt erhält man so in einem Durchgang 12 % mehr Plätzchen!

An den obigen Überlegungen wird jetzt auch klar, warum wir den Rand vernachlässigt haben. Je nachdem welche Form dieser besitzt erhält man natürlich unterschiedliche Ergebnisse. Allgemein kann man jedoch sagen, dass es umso einfacherer wird, umso regelmäßiger der Rand geformt ist bzw. umso regelmäßiger der Teig generell ausgerollt ist. Natürlich immer unter der Voraussetzung, dass wir nur die runden Ausstecher betrachten.

Und wofür braucht man das nun?

Das Ganze ist natürlich nicht nur wichtig für das Ausstechen der Plätzchen, sondern auch für das Auslegen auf dem Backblech. Dort stellt sich nämlich exakt die gleiche Frage, wenn man so viele Plätzchen wie möglich auf dem Backblech unterbringen möchte.
Und wer denkt, dass solche Überlegungen nur „Spielereien“ sind der liegt ganz falsch. Probleme solcher Art tauchen täglich in den verschiedensten Branchen auf. Einfache Beispiele sind die Verpackungsindustrie, Backindustrie, der Obsthändler, viele Chemiker, Biologen, Physiker, Mathematiker und und und…
In einem weiterführenden Beitrag werden wir uns demnächst die Frage stellen wie sich diese Problematik auf drei Dimensionen erweitern lässt und woher der Obsthändler weiß wie er seine Orangen stapeln muss.